已知函數(shù)f（x）=數(shù)學公式x-cosx則方程f（x）=數(shù)學公式所有根的和為________．


分析：利用導數(shù)研究函數(shù)y=f（x）的單調性，可得f（x）=x-cosx在（-，）上是增函數(shù)，結合f（）=得到在（-，）上有且只有一個實數(shù)x=滿足f（x）=．再由cosx的有界性和不等式的性質，證出當x≤-時，有f（x），且x≥時，f（x）＞．因此當x∉（-，）時，方程f（x）=沒有實數(shù)根，由此即可得到方程f（x）=只有一實數(shù)根x=，得到本題答案．
解答：∵f（x）=x-cosx，∴f'（x）=+sinx，
當x∈（-，）時，因為sinx，所以f'（x）=+sinx＞0
∴f（x）=x-cosx在（-，）上是增函數(shù)
∵f（）=-cos=
∴在區(qū)間（-，）上有且只有一個實數(shù)x=滿足f（x）=．
又∵當x≤-時，x＜-，-cosx≤1，∴當x≤-時，f（x）=x-cosx≤1-，
由此可得：當x≤-時，方程f（x）=沒有實數(shù)根
同理可證：當x≥時，方程f（x）≥-1＞，所以方程f（x）=也沒有實數(shù)根
綜上所述，方程f（x）=只有一個實數(shù)根x=，因此方程f（x）=所有根的和為
故答案為：
點評：本題給出基本初等函數(shù)f（x）=x-cosx，求方程f（x）=所有根的和．著重考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的圖象與性質、函數(shù)的零點和不等式的性質等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的部分圖象如圖所示，則f（x）的解析式是（　�。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當a=1，b=2時，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對任意0＜a＜b恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）設k、c＞0，當a=k2，b=（k+c）2時，記f（x）=f1（x）；當a=（k+c）2，b=（k+2c）2時，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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