Question

4．已知函數(shù)$f（x）=cosx（{\sqrt{3}sinx-cosx}）$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，且f（B）=$\frac{1}{2}$，a+c=1，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f（x）解析式整理后，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出最小正周期，由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間即可；
（2）由f（x）解析式及f（B）=$\frac{1}{2}$，求出B的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把cosB及c=1-a代入，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出b²的范圍，即可確定出b的范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵ω=2，∴T=π；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，得到kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z；
（2）∵f（B）=$\frac{1}{2}$，∴sin（2B-$\frac{π}{6}$）=1，
∵B為三角形內(nèi)角，
∴-$\frac{π}{6}$＜2B-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即B=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=a²+（1-a）²-a（1-a）=3（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
又a+c=1，∴0＜a＜1，
∴$\frac{1}{4}$≤b²＜1，
則b的范圍為[$\frac{1}{2}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．