Question

【題目】已知f（x）=ex﹣ax2 ， 曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=bx+1．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex﹣2ax，

∴f′（1）=e﹣2a=b，f（1）=e﹣a=b+1，

解得：a=1，b=e﹣2；

（2）解：由（1）得：f（x）=ex﹣x2，

f′（x）=ex﹣2x，f″（x）=ex﹣2，

∴f′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，

∴f′（x）≥f′（ln2）=2﹣2ln2＞0，

∴f（x）在[0，1]遞增，

∴f（x）max=f（1）=e﹣1

（3）解：∵f（0）=1，由（2）得f（x）過(guò)（1，e﹣1），

且y=f（x）在x=1處的切線方程是y=（e﹣2）x+1，

故可猜測(cè)x＞0，x≠1時(shí)，f（x）的圖象恒在切線y=（e﹣2）x+1的上方，

下面證明x＞0時(shí)，f（x）≥（e﹣2）x+1，

設(shè)g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，

g′（x）=ex﹣2x﹣（e﹣2），g″（x）=ex﹣2，

由（2）得：g′（x）在（0，ln2）遞減，在（ln2，+∞）遞增，

∵g′（0）=3﹣e＞0，g′（1）=0，0＜ln2＜1，

∴g′（ln2）＜0，

∴存在x0∈（0，1），使得g′（x）=0，

∴x∈（0，x0）∪（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，

x∈（x0，1）時(shí)，g′（x）＜0，

故g（x）在（0，x0）遞增，在（x0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

又g（0）=g（1）=0，∴g（x）≥0當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，

故 ≥x，x＞0，

由（2）得：ex≥x+1，故x≥ln（x+1），

∴x﹣1≥lnx，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取“=”，

∴ ≥x≥lnx+1，

即 ≥lnx+1，

∴ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，

即ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0成立，

當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立．

【解析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），f（1），求出a，b的值即可；（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）在[0，1]遞增，從而求出f（x）的最大值；（3）只需證明x＞0時(shí)，f（x）≥（e﹣2）x+1，設(shè)g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到ex+（2﹣e）x﹣1≥xlnx+x，從而證出結(jié)論即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．