Question

20．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（ax+1）≤f（x-2）對任意$x∈[{\frac{1}{2}，1}]$都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便知f（x）在R上為增函數(shù)，從而由f（ax+1）≤f（x-2）便可得到ax+1≤x-2，整理成，（a-1）x+3≤0，該不等式在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立，可設(shè)g（x）=（a-1）x+3，從而只需g（x）在$[\frac{1}{2}，1]$的最大值滿足小于等于0即可，這樣可討論a從而得出g（x）的最大值：分a=1，a＞1，和a＜1三種情況，然后根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性可求g（x）的最大值，從而可建立關(guān)于a的不等式，解不等式即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且在（0，+∞）上為增函數(shù)得：
f（x）在R上為增函數(shù)；
∴由f（ax+1）≤f（x-2）得：ax+1≤x-2；
即（a-1）x+3≤0在$x∈[\frac{1}{2}，1]$上恒成立；
設(shè)g（x）=（a-1）x+3，則只需g（x）_max≤0；
①若a=1，3≤0不成立，即a≠1；
②若a＞1，則g（x）為增函數(shù)；
∴g（x）_max=g（1）=a+2≤0；
∴a≤-2，與a＞1矛盾，即這種情況不存在；
③若a＜1，則g（x）為減函數(shù)；
∴$g（x）_{max}=g（\frac{1}{2}）=\frac{a-1}{2}+3$≤0；
∴a≤-5；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-5]．

點(diǎn)評 考查奇函數(shù)的定義，定義在R上的奇函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，以及增函數(shù)的定義，一次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值．