Question

（2013•大連一模）已知m∈R，函數(shù)f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）當(dāng)m=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把m=2代入可得函數(shù)解析式，求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可得最值，可證f'（x）＜0，可得單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）可得a，b是方程f'（x）=2mx-2e^x=0的兩不等實(shí)根，令h(x)=

ex

x

，求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性，進(jìn)而可得只需m＞h（1）即可，進(jìn)而可得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）m=2時，f（x）=2x²-2e^x，f'（x）=4x-2e^x=2（2x-e^x）．
令g（x）=2x-e^x，g'（x）=2-e^x，（2分）
當(dāng)x∈（-∞，ln2）時，g'（x）＞0，x∈（ln2，+∞）時，g'（x）＜0
∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0．
∴f'（x）＜0．∴f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．（4分）
（Ⅱ）①若f（x）有兩個極值點(diǎn)a，b（a＜b），
則a，b是方程f'（x）=2mx-2e^x=0的兩不等實(shí)根．
∵x=0顯然不是方程的根，∴m=

ex

x

有兩不等實(shí)根．（6分）
令h(x)=

ex

x

，則h′(x)=

ex(x-1)

x2

當(dāng)x∈（-∞，0）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，h（x）∈（-∞，0），
當(dāng)x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
要使m=

ex

x

有兩不等實(shí)根，應(yīng)滿足m＞h（1）=e，
∴m的取值范圍是（e，+∞）…（12分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．