Question

關于x、y的方程x²+xy+2y²=29的整數解（x、y）的組數為

1. A.
   2組
2. B.
   3組
3. C.
   4組
4. D.
   無窮多組

Answer 1

C
分析：根據原方程的形式，將其看成是關于x的方程，則字母y變成方程的參數系數，利用一元二次方程根的判別式得△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0，再根據方程有整數解，說明這個根的判斷式應該是平方數，由此可能得到的y²的取值為0、1、4、9或16，再經過討論，可以得到符合題目的四組整數解．
解答：可將原方程視為關于x的二次方程，將其變形為x²+yx+（2y²-29）=0
由于該方程有整數根，根據判別式△≥0，且是完全平方數
由△=y²-4（2y²-29）=-7y²+116≥0解得y²≤≈16.57
y²014916△11610988534顯然只有y²=16時，△=4是完全平方數，符合要求
當y=4時，原方程為x²+4x+3=0，此時x₁=-1，x₂=-3
當y=-4時，原方程為x²-4x+3=0，此時x₃=1，x₄=3
所以，原方程的整數解為，，，．
故選C
點評：本題考查了二元二次方程組的整數解問題，屬于難題．分清題中的主元與次元，巧妙地利用關于x的一元二次方程，用根的判別式解題，是本題的關鍵所在．