Question

已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2，3），并與x，y軸正半軸交于A，B二點(diǎn)．
（1）當(dāng)△AOB面積為

27

2

時(shí)，求直線l的方程．
（2）求△AOB面積的最小值，并寫出這時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）用截距式設(shè)出直線方程，利用線l過(guò)點(diǎn)P（2，3），及與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積值，求出在坐標(biāo)軸上的截距，從而得到所求的直線方程．
（2）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線的截距式方程，使用基本不等式求三角形面積最小時(shí)截距的值，從而求出直線方程．

解答：解：（1）設(shè)直線方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0）
由題意得

1

2

ab=

27

2

，

2

a

+

3

b

=1，解得

a=3 b=9

或

a=6 b= 9 2

所以所求直線方程式3x+y-9=0或3x+4y-18=0．

（2）∵1=

2

a

+

3

b

≥2

6 ab

，
所以ab≥24，S≥12當(dāng)且僅當(dāng)

2

a

=

3

b

=

1

2

時(shí)取等號(hào)，
所以此時(shí)直線方程為3x+2y-12=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的截距式，用待定系數(shù)法求出待定系數(shù)，利用基本不等式求最值，注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件．