Question

設函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b）（a，b∈R）．
（Ⅰ）若b=2，證明函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂，并且；
（Ⅱ）若a=b（a≠0），且當x∈[0，|a|+1]時，f（x）＜2a²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）當b=2時，f（x）=x（x-a）（x-2）=x³-（a+2）x²+2ax．f′（x）=3x²-2（a+2）x+2a．…（1分）
∵△=4（a+2）²-24a=4（a²-2a+4）=4（a-1）²+12＞0，
∴方程f'（x）=0有兩個不等的實數(shù)根x₁，x₂．…（3分）
不妨設x₁＜x₂，則 f′（x）=3（x-x₁）（x-x₂）．
當x＜x₁時，f′（x）＞0；當x₁＜x＜x₂時，f'（x）＜0；當x＞x₂時，f'（x）＞0．
∴x₁是f（x）的極大值點，x₂是f（x）的極小值點．…（4分）
并且，．
因此，函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點x₁，x₂，并且（當且僅當時取等號）…（7分）
（Ⅱ）當a=b（a≠0）時，f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+ax．…（8分）
1若a＞02，則f（x）3在4上增函數(shù)，在5上為減函數(shù)，在[a，a+1]6上為增函數(shù)．f（x）在[0，a+1]上的最大值為與f（a+1）中的較大者．
而，f（a+1）=a+1．
由f（x）＜2a²在[0，a+1]上恒成立，得…（9分）
即．…（11分）
②若a＜0，則f（x）在[0，1-a]上為增函數(shù)．f（x）在[0，1-a]上的最大值為f（1-a）=（1-a）（1-2a）²．
∵a＜0，∴1-a＞1，（1-2a）²＞（-2a）²=4a²＞2a²．
∴f（1-a）＞2a²．
因此，a＜0不可能．…（13分）
綜上所述，a的取值范圍是．…（14分）
分析：（Ⅰ）利用求導法則求出f（x）的導函數(shù)，令f'（x）=0考慮到判別式大于零得到兩個極值點，設x₁＜x₂，討論函數(shù)的增減性得到x₁是極大值點，x₂是極小值點，從而利于韋達定理可證；
（Ⅱ） 利用導數(shù)法，求函數(shù)f（x）在[0，|a|+1]的最大值，從而可得不等式，進而可求a的取值范圍．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查學生求導數(shù)及利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，靈活運用一元二次方程根與系數(shù)的關系解決數(shù)學問題的能力． 考查恒成立問題的處理策略，有一定的綜合性．