Question

設(shè)A（-2，0），B（2，0），M為平面上任一點(diǎn)，若|MA|+|MB|為定值，且cosAMB的最小值為-

1

3

．
（1）求M點(diǎn)軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)N（3，0）的直線l與軌跡C及單位圓x²+y²=1自右向左依次交于點(diǎn)P、Q、R、S，若|PQ|=|RS|，則這樣的直線l共有幾條？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)M（x，y），設(shè)|MA|+|MB|=2a（a＞0）．由題設(shè)條件知cosAMB═

(|MA|+|MB|)2-2|MA||MB|-16

2|MA||MB|

=

4a2-16

2|MA||MB|

-1≥

4a2-16

2a2

-1=-

1

3

，解得a=

6

．由此可知曲線C的方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)直線l的方程是y=k（x-3）．當(dāng)k=0時(shí)，l的方程是y=0．當(dāng)k≠0時(shí)，由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

，得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．設(shè)P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），由根與第數(shù)的關(guān)系可知此時(shí)l不存在，綜上，存在一條直線l：y=0滿足條件．

解答：解：（1）設(shè)M（x，y），
∵在△AMB中，AB=4，|MA|+|MB|是定值；
可設(shè)|MA|+|MB|=2a（a＞0）．
∴cosAMB═

(|MA|+|MB|)2-2|MA||MB|-16

2|MA||MB|

=

4a2-16

2|MA||MB|

-1．（3分）
而|MA|+|MB|≥2

|MA|•|MB|

，
∴|MA|•|MB|≤a²．
∴

4a2-16

2|MA||MB|

-1≥

4a2-16

2a2

-1
．∵cosAMB最小值為-

1

3

，
∴-1=-

1

3

．∴a=

6

．（6分）
∴|MA|+|MB|=2

6

＞|AB|．
∴M點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，且a=

6

，c=2．
∴b²=a²-c²=2．∴曲線C的方程是

x2

6

+

y2

2

=1．（8分）
（2）設(shè)直線l的方程是y=k（x-3）．
1°當(dāng)k=0時(shí)，顯然有|PQ|=|RS|；此時(shí)l的方程是y=0．
2°當(dāng)k≠0時(shí)，∵|PQ|=|RS|，∴PS與RQ的中點(diǎn)重合，設(shè)中點(diǎn)為G，則OG⊥PS．
由

x2 6 + y2 2 =1 y=k(x-3)

，
得（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．（11分）
設(shè)P（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

18k2

1+3k2

，y₁+y₂=k（x₁-3）+k（x₂-3）=

-6k

1+3k2

．
∴G（

9k2

1+3k2

，

-3k

1+3k2

）．
∴

-3k 1+3k2

9k2 1+3k2

×k=-1無解，此時(shí)l不存在，
綜上，存在一條直線l：y=0滿足條件．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．