Question

已知離心率為

3

2

的橢圓C₁的頂點A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點，點P是橢圓上不同于A₁，A₂的任意一點，設(shè)直線PA₁，PA₂的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）試判斷k₁•k₂的值是否與點P的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）當k1=

1

2

時，圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

4 5

5

，求實數(shù)m的值．
設(shè)計意圖：考察直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識，考察學生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．第（Ⅱ）改編自人教社選修2-1教材P39例3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用橢圓C₁的頂點A₁，A₂恰好是雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點求出頂點A₁，A₂的坐標，再利用離心率為

3

2

即可求橢圓C₁的標準方程；
（Ⅱ）直接利用兩點坐標求出k₁•k₂的值即可判斷k₁•k₂的值是否與點P的位置有關(guān)；
（Ⅲ）先利用（Ⅱ）的結(jié)論求出直線PA₂的方程，再利用圓心到直線的距離以及弦長和半徑之間的關(guān)系即可求實數(shù)m的值．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線

x2

3

-y2=1的左右焦點為（±2，0）
即A₁，A₂的坐標分別為（-2，0），（2，0）．（1分）
所以設(shè)橢圓C₁的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則a=2，（2分）
且e=

c

a

=

3

2

，所以c=

3

，從而b²=a²-c²=1，（4分）
所以橢圓C₁的標準方程為

x2

4

+

y2

1

=1．（5分）

（Ⅱ）設(shè)P（x₀，y₀）則

x02

4

+

y02

1

=1，即y02=1-

x02

4

=

4-x02

4

（6分）
k1•k2=

y0-0

x0-(-2)

•

y0-0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

1

4

．（8分）
所以k₁•k₂的值與點P的位置無關(guān)，恒為-

1

4

． （9分）

（Ⅲ）由圓C₂：x²+y²-2mx=0得（x-m）²+y²=m²，
其圓心為C₂（m，0），半徑為|m|，（10分）
由（Ⅱ）知當k1=

1

2

時，k2=-

1

2

，
故直線PA₂的方程為y=-

1

2

(x-2)即x+2y-2=0，（11分）
所以圓心為C₂（m，0）到直線PA₂的距離為d=

|m+2×0-2|

12+22

=

|m-2|

5

，
又由已知圓C₂：x²+y²-2mx=0被直線PA₂截得弦長為

4 5

5

及垂徑定理得
圓心C₂（m，0）到直線PA₂的距離d=

m2-( 2 5 5 )2

，
所以

m2-( 2 5 5 )2

=

|m-2|

5

，即m²+m-2=0，解得m=-2或m=1．（13分）
所以實數(shù)m的值為1或-2．（14分）．

點評：本題主要考查直線上兩點的斜率公式、直線與圓相交、垂徑定理、雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)等知識，考查學生用待定系數(shù)法求橢圓方程等解析幾何的基本思想與運算能力、探究能力和推理能力．