Question

拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，若過(guò)點(diǎn)M（0，1）任作一直線交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且x₁•x₂=-4，則拋物線C的方程為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：考慮本題是填空題，可一般問(wèn)題特殊化，根據(jù)題意可設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0），過(guò)點(diǎn)M（0，1）任作一條直線交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)都有x₁•x₂=-4，特殊情況也成立，故考慮直線為y=1時(shí)，分別求出A、B的坐標(biāo)，從而可求拋物線C的方程．

解答： 解：（一般問(wèn)題特殊化）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的方程為x²=2py（p＞0）
過(guò)點(diǎn)M（0，1）任作一條直線交拋物線C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)都有x₁•x₂=-4，
考慮特殊情況也成立，故考慮直線為y=1時(shí)，可得A（-

2p

，1），B（

2p

，1），
則有x₁x₂=-2p=-4，∴p=2
故答案為：x²=4y．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線方程的求解，要注意解答本題時(shí)應(yīng)用到的方法：一般問(wèn)題特殊化可以減少運(yùn)算．