Question

如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)。
（Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；
（Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，所以DE//PC， 又因?yàn)镈E平面BCP， 所以DE//平面BCP。 （Ⅱ）證明：因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF， 所以四邊形DEFG為平行四邊形， 又因?yàn)镻C⊥AB，所以DE⊥DG， 所以四邊形DEFG為矩形。
（Ⅲ）解：存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG， 設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG， 分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。 與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形， 其對(duì)角線點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM=QN=EG， 所以Q為滿足條件的點(diǎn)。