Question

【題目】已知?jiǎng)訄A恒過點(diǎn)，且與直線相切.

（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）設(shè)是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，的平行線交軌跡于，兩點(diǎn)，交軌跡在處的切線于點(diǎn)，問：是否存在實(shí)常數(shù)使，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，容易知其軌跡為拋物線；結(jié)合已知點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得方程；

（2）由拋物線方程求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，利用導(dǎo)數(shù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，求得，進(jìn)而求得與之間的大小關(guān)系，即可求得參數(shù).

（1）由題意得，點(diǎn)與點(diǎn)的距離始終等于點(diǎn)到直線的距離，

由拋物線的定義知圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，

則，.∴圓心的軌跡方程為.

（2）因?yàn)?/span>是軌跡上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)，

由（1）不妨取，所以直線的斜率為1.

因?yàn)?/span>，所以設(shè)直線的方程為，.

由，得，則在點(diǎn)處的切線斜率為2，

所以在點(diǎn)處的切線方程為.

由得所以，

所以.

由消去得，

由，得且.

設(shè)，，

則，.

因?yàn)辄c(diǎn)，，在直線上，

所以，，

所以

，

所以.

∴

故存在，使得.