Question

已知函數(shù)f（x）滿足：①對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）；②當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．則f（8）=

 

；方程f（x）=

1

5

的最小正數(shù)解為

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出f（2）=0，令x=2，求出f（4），令x=4，求出f（8）；令

1

2

＜x≤1，轉(zhuǎn)化到已知范圍，從而求出f（x）的解析式，同理分別求出

1

4

＜x≤

1

2

，

1

8

＜x≤

1

4

，

1

16

＜x≤

1

8

時的解析式，令f（x）=

1

5

，分別求出x，并檢驗即得結(jié)果．

解答： 解：∵當x∈（1，2]時，f（x）=2-x，
∴f（2）=0，
∵?x＞0，f（2x）=2f（x），
∴f（4）=2f（2）=0，f（8）=2f（4）=0；
令

1

2

＜x≤1，則1＜2x≤2，
∴f（2x）=2-2x，
又f（2x）=2f（x），
∴當

1

2

＜x≤1時，f（x）=1-x，
令

1

4

＜x≤

1

2

，則

1

2

＜2x≤1，f（2x）=1-2x，
又f（2x）=2f（x），
∴當

1

4

＜x≤

1

2

時，f（x）=

1

2

-x，
令

1

8

＜x≤

1

4

，則

1

4

＜2x≤

1

2

，f（2x）=

1

2

-2x，
又f（2x）=2f（x），
∴當

1

8

＜x≤

1

4

時，f（x）=

1

4

-x，
同理可得：當

1

16

＜x≤

1

8

時，f（x）=

1

8

-x，
令f（x）=

1

5

，則由2-x=

1

5

，得x₁=

9

5

，
由1-x=

1

5

，得x₂=

4

5

，
由

1

2

-x=

1

5

，得x₃=

3

10

，
由

1

4

-x=

1

5

，得x₄=

1

20

∉（

1

8

，

1

4

]，
由

1

8

-x=

1

5

，得x₅＜0，
可推出以下都小于0．
∴方程f（x）=

1

5

的最小正數(shù)解為

3

10

．
故答案為：0，

3

10

．

點評：本題主要考查函數(shù)的解析式的求法，以及應(yīng)用求自變量，注意運用賦值和轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法，同時解方程一定要注意自變量的范圍．