Question

求證：雙曲線xy=k（k≠0）上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為常數(shù)．并說(shuō)明你的證明中的主要步驟（三步）．

Answer 1

分析：設(shè)曲線xy=k（k≠0）上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），對(duì)xy=k進(jìn)行變形可得 y=

k

x

，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得切線的方程，聯(lián)立曲線的方程，進(jìn)而可得直線在x、y軸上的截距，由三角形面積公式，計(jì)算可得答案，進(jìn)而證明結(jié)論成立．

解答：證明：設(shè)曲線xy=k（k≠0）上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），
由題意可得：xy=k可以變形為：y=

k

x

，
對(duì)函數(shù)y=

k

x

求導(dǎo)數(shù)可得 y′=-

k

x2

，
所以切線的方程是 y-y0=-

k

x 2 0

(x-x0)．
因?yàn)閤₀y₀=k，可以得出切線在x軸與y軸的截距分別是x_截距=x0+-

x 2 0 y0

k2

=2x0，
y_截距=y0+

k

x0

=

x0y0+k

x0

=

2k

x0

，
所以根據(jù)三角形的面積公式可得：所求三角形的面積為2k，
所以雙曲線xy=k（k≠0）上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及求曲線的切線方程，進(jìn)行證明時(shí)，一般步驟是先設(shè)變量或坐標(biāo)，再求或聯(lián)立方程，最后進(jìn)行計(jì)算得到結(jié)論．