Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x+4），且當x＞2時，f（x）單調(diào)遞增，若x₁+x₂＜4，（x₁-2）（x₂-2）＜0，則f（x₁）+f（x₂）的值 ________．（判斷符號）

Answer 1

恒為負
分析：題設(shè)中條件眾多，欲判斷f（x₁）+f（x₂）的符號，有兩種可能一是-f（x₁）＞f（x₂），一是-f（x₁）＜f（x₂），又f（-x）=-f（x+4），令x=-x₁，即得f（x₁）=-f（4-x₁），由此問題轉(zhuǎn)化為比較f（4-x₁）與f（x₂）的大小比較，由題設(shè)條件易證
解答：設(shè)x₁＜x₂，由（x₁-2）（x₂-2）＜0
得x₁＜2，x₂＞2，再由x₁+x₂＜4得
4-x₁＞x₂＞2，
因為x＞2時，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（4-x₁）＞f（x₂），
又f（-x）=-f（x+4），取x=-x₁得f（x₁）=-f（4-x₁），
所以-f（x₁）＞f（x₂），
即f（x₁）+f（x₂）＜0，
故答案為恒為負
點評：本題考點是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)進行靈活變形，轉(zhuǎn)化證明的能力，本題對靈活轉(zhuǎn)化的能力要求較高，依據(jù)條件靈活轉(zhuǎn)化是一種數(shù)學素養(yǎng)較高的表現(xiàn)．