已知函數(shù)f(x)的定義域為I,導數(shù)fn(x)滿足0<f(x)<2且fn(x)≠1,常數(shù)c1為方程f(x)-x=0的實數(shù)根,常數(shù)c2為方程f(x)-2x=0的實數(shù)根.
(1)若對任意[a,b]⊆I,存在x∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)fn(x)成立.求證:方程f(x)-x=0不存在異于c1的實數(shù)根;
(2)求證:當x>c2時,總有f(x)<2x成立;
(3)對任意x1、x2,若滿足|x1-c1|<1,|x2-c1|<1,求證:|f(x1)-f(x2)|<4.
【答案】分析:(1)利用反證法.假設方程f(x)-x=0有異于c1的實根m,即f(m)=m,從而可得fn(x)=1,這與fn(x)≠1矛盾;
(2)令h(x)=f(x)-2x,證明函數(shù)h(x)為減函數(shù),可證當x>c2時,h(x)<0,從而可得結論;
(3)不妨設x1≤x2,根據(jù)fn(x)>0,可得f(x)為增函數(shù),即f(x1)≤f(x2),利用fn(x)<2,可得函數(shù)f(x)-2x為減函數(shù),利用絕對值不等式的性質,即可得證.
解答:證明:(1)假設方程f(x)-x=0有異于c1的實根m,即f(m)=m,
則有m-c1=f(m)-f(c1)=(m-c1)fn(x)成立.
因為m≠c1,所以必有fn(x)=1,這與fn(x)≠1矛盾,
因此方程f(x)-x=0不存在異于c1的實數(shù)根.…(4分)
(2)令h(x)=f(x)-2x,
∵hn(x)=fn(x)-2<0,∴函數(shù)h(x)為減函數(shù).
又∵h(c2)=f(c2)-2c2=0,∴當x>c2時,h(x)<0,即f(x)<2x成立.…(8分)
(3)不妨設x1≤x2,∵fn(x)>0,∴f(x)為增函數(shù),即f(x1)≤f(x2).
又∵fn(x)<2,∴函數(shù)f(x)-2x為減函數(shù),即f(x1)-2x1≥f(x2)-2x2.
∴0≤f(x2)-f(x1)≤2(x2-x1).
即|f(x2)-f(x1)|≤2|x2-x1|.
∵|x2-x1|=|x2-c1+c1-x1|≤|x2-c1|+|x1-c1|<2,
∴|f(x1)-f(x2)|<4.…(15分)
點評:本題考查函數(shù)與方程的綜合運用,考查反證法,考查函數(shù)的單調性,考查不等式的證明,綜合性強.