已知函數(shù)f(x)的定義域為I,導數(shù)fn(x)滿足0<f(x)<2且fn(x)≠1,常數(shù)c1為方程f(x)-x=0的實數(shù)根,常數(shù)c2為方程f(x)-2x=0的實數(shù)根.
(1)若對任意[a,b]⊆I,存在x∈(a,b),使等式f(b)-f(a)=(b-a)fn(x)成立.求證:方程f(x)-x=0不存在異于c1的實數(shù)根;
(2)求證:當x>c2時,總有f(x)<2x成立;
(3)對任意x1、x2,若滿足|x1-c1|<1,|x2-c1|<1,求證:|f(x1)-f(x2)|<4.
【答案】分析:(1)利用反證法.假設方程f(x)-x=0有異于c1的實根m,即f(m)=m,從而可得fn(x)=1,這與fn(x)≠1矛盾;
(2)令h(x)=f(x)-2x,證明函數(shù)h(x)為減函數(shù),可證當x>c2時,h(x)<0,從而可得結論;
(3)不妨設x1≤x2,根據(jù)fn(x)>0,可得f(x)為增函數(shù),即f(x1)≤f(x2),利用fn(x)<2,可得函數(shù)f(x)-2x為減函數(shù),利用絕對值不等式的性質,即可得證.
解答:證明:(1)假設方程f(x)-x=0有異于c1的實根m,即f(m)=m,
則有m-c1=f(m)-f(c1)=(m-c1)fn(x)成立.
因為m≠c1,所以必有fn(x)=1,這與fn(x)≠1矛盾,
因此方程f(x)-x=0不存在異于c1的實數(shù)根.…(4分)
(2)令h(x)=f(x)-2x,
∵hn(x)=fn(x)-2<0,∴函數(shù)h(x)為減函數(shù).
又∵h(c2)=f(c2)-2c2=0,∴當x>c2時,h(x)<0,即f(x)<2x成立.…(8分)
(3)不妨設x1≤x2,∵fn(x)>0,∴f(x)為增函數(shù),即f(x1)≤f(x2).
又∵fn(x)<2,∴函數(shù)f(x)-2x為減函數(shù),即f(x1)-2x1≥f(x2)-2x2
∴0≤f(x2)-f(x1)≤2(x2-x1).
即|f(x2)-f(x1)|≤2|x2-x1|.
∵|x2-x1|=|x2-c1+c1-x1|≤|x2-c1|+|x1-c1|<2,
∴|f(x1)-f(x2)|<4.…(15分)
點評:本題考查函數(shù)與方程的綜合運用,考查反證法,考查函數(shù)的單調性,考查不等式的證明,綜合性強.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1,y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點,橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標原點).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

下列說法正確的有(  )個.
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內可導,若f(x)在(a,b)內單調遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點P處的導數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點P處的導數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關.
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是(  )

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(ⅰ)證明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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