Question

(本小題滿分l2分)(注意：在試題卷上作答無效)

已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓：在軸正半軸上的焦點(diǎn)，過且斜率為的直線與交與、兩點(diǎn)，點(diǎn)滿足.

(I)證明：點(diǎn)在上；

(II)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：、、、四點(diǎn)在同一圓上.

 

 

Answer 1

【答案】

(I),的方程為,代入并化簡(jiǎn)得

.                  …………………………2分

設(shè),

則

   由題意得

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程,故點(diǎn)在橢圓上 …6分

(II)由和題設(shè)知，，的垂直平分線的方程為

.                        ①

設(shè)的中點(diǎn)為,則,的垂直平分線的方程為

.                       ②

由①、②得、的交點(diǎn)為.         …………………………9分

,

,

,

,

,

故     ,

又      , ,

所以    ,

由此知、、、四點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上. ……………12分

（II）法二： 

同理

所以互補(bǔ)，

因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。

 

【解析】本題涉及到平面向量，有一定的綜合性和計(jì)算量，完成有難度. 首先出題位置和平時(shí)模擬幾乎沒有變化，都保持全卷倒數(shù)第二道題的位置，這點(diǎn)考生非常適應(yīng)的。相對(duì)來講比較容易，是因?yàn)檫@道題最好特點(diǎn)沒有任何的未知參數(shù)，我們看這道題橢圓完全給出，直線過了橢圓焦點(diǎn)，并且斜率也給出，平時(shí)做題斜率不給出，需要通過一定條件求出來，或者根本求不出來，這道題都給了，反而同學(xué)不知道怎么下手，讓我求什么不知道，給出馬上給向量條件，出了兩道證明題，這個(gè)跟平時(shí)做的不太一樣，證明題結(jié)論給大家，需要大家嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出來，可能敘述的時(shí)候有不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤�。這兩問出的非常巧妙，非常涉及解析幾何本質(zhì)的內(nèi)容，一個(gè)證明點(diǎn)在橢圓上的問題，還有一個(gè)疑問既然出現(xiàn)四點(diǎn)共圓，這都是平時(shí)很少涉及內(nèi)容。從側(cè)面體現(xiàn)教育深層次的問題，讓學(xué)生掌握解析幾何的本質(zhì)，而不是把套路解決。其實(shí)幾年前上海考到解析幾何本質(zhì)問題，最后方法用代數(shù)方法研究幾何的問題，什么是四點(diǎn)共圓？首先在同一個(gè)圓上，首先找到圓心，四個(gè)點(diǎn)找圓形不好找，最簡(jiǎn)單的兩個(gè)點(diǎn)怎么找？這是平時(shí)的知識(shí)，怎么找距離相等的點(diǎn)，一定在中垂線，兩個(gè)中垂線交點(diǎn)必然是圓心，找到圓心再距離四個(gè)點(diǎn)距離相等，這就是簡(jiǎn)單的計(jì)算問題.方法確定以后計(jì)算量其實(shí)比往年少.