【題目】若定義在D上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有-M<f(x)<M成立,則稱(chēng)f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)f(x)的上界。

(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=-2x+2,x∈[0,2]是否是有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)=1++,x∈[0,+∞)是以3為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2) [-5,1].

【解析】試題分析:(Ⅰ)通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算出的范圍即可;(Ⅱ)根據(jù)有界函數(shù)的定義可得對(duì)任意,都有,利用分離參數(shù)可得上恒成立求出左端的最大值右端的最小值即可.

試題解析:(Ⅰ)f(x)=。

當(dāng)0≤x≤2時(shí),1≤f(x)≤2,則-2≤f(x)≤2。

由有界函數(shù)定義可知f(x)=-2x+2,x∈[0,2]是有界函數(shù)。

(Ⅱ)由題意知對(duì)任意x≥0,都有。

所以有,

在[1,+∞)上恒成立。

設(shè)t=,由x≥0,得t≥1。

設(shè)h(t)=,p(t)=

由題可得。

而h(t)在[1,+∞)上遞減,p(t)在[1,+∞)上遞增。(單調(diào)性證明略)

h(t)在[1,+∞)上的最大值為h(1)=-5,p(t)在[1,+∞)上的最小值為p(1)=1。

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5,1]。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】市場(chǎng)上有一種新型的強(qiáng)力洗衣粉,特點(diǎn)是去污速度快,已知每投放)個(gè)單位的洗衣粉液在一定量水的洗衣機(jī)中,它在水中釋放的濃度(克/升)隨著時(shí)間(分鐘)變化的函數(shù)關(guān)系式近似為,其中,若多次投放,則某一時(shí)刻水中的洗衣液濃度為每次投放的洗衣液在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4(克/升)時(shí),它才能起有效去污的作用.

1)若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液,則有效去污時(shí)間可能達(dá)幾分鐘?

2)若先投放2個(gè)單位的洗衣液,6分鐘后投放個(gè)單位的洗衣液,要使接下來(lái)的4分鐘中能夠持續(xù)有效去污,試求的最小值(精確到0.1,參考數(shù)據(jù): .

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某公司為了解廣告投入對(duì)銷(xiāo)售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用,并將各地的銷(xiāo)售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開(kāi)始計(jì)數(shù)的.

(Ⅰ)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算圖中各小長(zhǎng)方形的寬度;

(Ⅱ)估計(jì)該公司投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用之后,對(duì)應(yīng)銷(xiāo)售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的取值);

(Ⅲ)該公司按照類(lèi)似的研究方法,測(cè)得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:

廣告投入x(單位:萬(wàn)元)

1

2

3

4

5

銷(xiāo)售收益y(單位:萬(wàn)元)

2

3

2

7

表中的數(shù)據(jù)顯示,之間存在線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)將(Ⅱ)的結(jié)果填入空白欄,并計(jì)算關(guān)于的回歸方程.

回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=,其中0<a<1,k∈R。

(Ⅰ)若k=1,求函數(shù)f(x)的定義域;

(Ⅱ)若a=,且f(x)在[1,+∞)內(nèi)總有意義,求k的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

)若函數(shù)圖象在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;

)求函數(shù)的極值;

)若,,且對(duì)任意的,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在四棱錐,,底面矩形,,,分別,中點(diǎn).

(1)求證:;

(2)已知點(diǎn)中點(diǎn),點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)何值時(shí),平面?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知曲線,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)當(dāng)為何值時(shí),曲線表示圓;

(2)若曲線與直線交于兩點(diǎn),且,求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù),數(shù)列滿(mǎn)足,,).

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(2)設(shè),若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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