Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）滿足：對任意的實數(shù)x∈R，有f（sinx）=-cos2x+cos²x+2sinx-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程有解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）配湊法：f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，由此可得f（x）；
（Ⅱ）先驗證當(dāng)時方程是否有解，再把方程化為2a=，此時只需求出的值域即可，分類討論：①當(dāng)時，②當(dāng)時，可求出其值域．
解答：解：（Ⅰ）f（sinx）=2sin²x-1+1-sin²x+2sinx-3=sin²x+2sinx-3，
所以f（x）=x²+2x-3（-1≤x≤1）．
（Ⅱ）①當(dāng)時，，不成立．
②當(dāng)時，，
令，則，，，
因為函數(shù)在上單增，所以．
③當(dāng)時，，
令，則，，，
因為函數(shù)g（t）=t-+3在上單增，所以2a≤g（）=0⇒a≤0．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)解析式的求解及函數(shù)零點(diǎn)問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．