Question

設(shè)f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b，（a，b∈R⁺）若f（x）≤f（）對(duì)一切x∈R恒成立，給出下列結(jié)論：
①f（-）=0； ②f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱；
③f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
④f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤f（x）與的單調(diào)區(qū)間相同．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

①②⑤
分析：化簡(jiǎn)f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得f（ ） 是三角函數(shù)的最大值，得到x=是三角函數(shù)的對(duì)稱軸，由此可求出輔助角θ，再通過(guò)整體處理的思想研究函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷．
解答：f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b=asin2x+bcos2x
=sin（2x+θ），其中tanθ=，所以周期T=π，
又f（x）≤f（）對(duì)一切x∈R恒成立，
故x=處為最大值點(diǎn)，即x=為函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，
故2×+θ=kπ+，解得θ=kπ+，k∈Z，
故f（x）=sin（2x+kπ+）=±sin（2x+），
又x=處為最大值點(diǎn)，故f（x）=sin（2x+），
故①f（-）=）=sin0=0，故正確；
②由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，當(dāng)k=1時(shí)，x=，故圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱，故正確；
③由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，令=，解得k=∉Z，故不是對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；
④由2kπ-≤2x+≤2kπ+，解得kπ-≤x≤kπ+，故的函數(shù)的增區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），故錯(cuò)誤；
⑤函數(shù)f（x）=sin（2x+）=cos（-2x-）=
cos（）=cos（2x-），故函數(shù)f（x）與的單調(diào)區(qū)間相同，故正確．
故答案為：①②⑤
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸過(guò)三角函數(shù)的最值點(diǎn)、考查研究三角函數(shù)的性質(zhì)常用整體處理的思想方法，屬中檔題．