Question

已知圓M：x²+（y-2）²=1，直線l：y=-1，動圓P與圓M相外切，且與直線l切，設(shè)動圓圓心P的軌跡為E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）若點A，B是E上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點，且

OA

•

OB

=-16，求證：直線AB恒過定點．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用,軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）根據(jù)動圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x²+（y-2）²=1外切，可得動動點P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等，由拋物線的定義知，點P的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：y=kx+b，將直線AB代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，利用韋達定理，結(jié)合

OA

•

OB

=-16，求出b，即可證明直線AB恒過定點．

解答： （Ⅰ）解：由題意動圓P與直線y=-1相切，且與定圓M：x²+（y-2）²=1外切
所以動點P到M（0，2）的距離與到直線y=-2的距離相等
由拋物線的定義知，點P的軌跡是以C（0，2）為焦點，直線y=-2為準線的拋物線
故所求P的軌跡方程為：x²=8y．   …（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)直線AB：y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線AB代入到x²=8y中得x²-8kx-8b=0，
所以x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8b…（6分）
又因為

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+

x12x22

64

=-8b+b²=-16，
∴b=4，…（10分）
∴恒過定點（0，4）．             …（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力，熟記拋物線的定義是求解本題的關(guān)鍵．