Question

（2005•普陀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y²=2x的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，直線FA與拋物線交于點(diǎn)A、B，求向量

OA

和

OB

夾角的大�。�

Answer 1

分析：由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(1，

2

)，根據(jù)直線和拋物線的方程求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，即得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)向量

OA

與

OB

的夾角為 θ，由cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

，以及 0≤θ≤π，可得 θ 的值．

解答：解：F(

1

2

，0)，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)A(1，

2

)，則直線FA的方程為y=2

2

(x-

1

2

)，
把它代入y²=2x，得B(

1

4

，-

2

2

)，則

OA

=(1，

2

)，

OB

=(

1

4

，-

2

2

)，設(shè)向量

OA

和

OB

夾角為θ，
則cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

1 4 -1

3 • 3 4

=-

3

3

，由對(duì)稱性，當(dāng)A(1，-

2

)時(shí)，結(jié)論相同．
∴向量

OA

和

OB

夾角的大小為π-arccos

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，是解題的關(guān)鍵．