Question

已知一種圓錐型金屬鑄件的高為h，底面半徑為a，現(xiàn)要將它切割為圓柱體模型（如圖所示），并要求圓柱的體積最大，求圓柱的最大體積及此時(shí)圓柱的底面半徑和高．

Answer 1

分析：根據(jù)條件求出圓柱的體積，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可．

解答：解：設(shè)圓柱的半徑為r，高為x，體積為V，
則由題意可得

r

a

=

h-x

h

，
∴x=

ah-rh

a

=

(a-r)h

a

，
∴圓柱的體積為V（r）=πr2x=πr2•

(a-r)

a

h，(0＜r＜a)，
即V（r）=

πh

a

(ar2-r3)，
則V'（r）=

πh

a

(2ar-3r2)，
由V'（r）=

πh

a

(2ar-3r2)=0，得r=

2

3

a．
列表如下：

r	（0， 2 3 a）	2 3 a．	（ 2 3 a，a）
V'（r）	+	0	-
V（r）	遞增	極大值	遞減

∴圓柱的最大體積為V(

2a

3

)=

4

27

πha2，此時(shí)r=

2

3

a，x=

1

3

h．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在生活中的優(yōu)化問題，利用條件建立體積函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．