Question

已知y=f（x），f(

1

2

)=4，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足：f（x+y）=f（x）+f（y）-3
（Ⅰ）當(dāng)n∈N^*時(shí)求f（n）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若b₁=1，b_n+1=

bn

1+bn•f(n-1)

(n∈N*)，求b_n；
（Ⅲ）記c n=

4	bn

(n∈N*)，試證c₁+c₂+…+c₂₀₁₄＜89．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）令x=y=

1

2

，則f（1）=2f(

1

2

)-3=5．可得f（n+1）-f（n）=2．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）由b_n+1=

bn

1+bn•f(n-1)

(n∈N*)，取倒數(shù)可得

1

bn+1

-

1

bn

=f(n-1)=2n+1．利用“累加求和”即可得出．
（III）c_n=

4	bn

=

1

n

．可得

1

n

=

2

n + n

＜

2

n + n+1

=2(

n

-

n-1

)，放縮利用“累加求和”即可得出．

解答： （I）解：令x=y=

1

2

，則f（1）=2f(

1

2

)-3=2×4-3=5．
∴f（n+1）-f（n）=5-3=2．
∴f（n）=f（1）+2（n-1）=2n+3．
（II）解：∵b_n+1=

bn

1+bn•f(n-1)

(n∈N*)，∴

1

bn+1

-

1

bn

=f(n-1)=2n+1．
∴

1

bn

=

1

b1

+(

1

b2

-

1

b1

)+(

1

b3

-

1

b2

)+…+(

1

bn

-

1

bn-1

)=1+3+5+…+（2n-1）=n²．
∴bn=

1

n2

（n∈N^*）．
（III）證明：c_n=

4	bn

=

1

n

．∵

1

n

=

2

n + n

＜

2

n + n+1

=2(

n

-

n-1

)，
∴c₁+c₂+…+c₂₀₁₄＜1+2(

2

-1)+2(

3

-

2

)+…+2(

2014

-

2013

)
=2

2014

-1＜2×45-1=89．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“累加求和”，考查了放縮法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．