Question

5．已知函數(shù)y=f（x）是二次函數(shù)，且滿足f（0）=3，f（-1）=f（3）=0
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[t，t+2]，試將y=f（x）的最大值表示成關(guān)于t的函數(shù)g（t）．

Answer 1

分析 （1）由題意，設(shè)函數(shù)為f（x）=a（x+1）（x-3，利用f（0）=3，即可求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[t，t+2]，分類討論求出最大值，即可將y=f（x）的最大值表示成關(guān)于t的函數(shù)g（t）．

解答 解：（1）由題可設(shè)f（x）=a（x+1）（x-3），
又f（0）=3，得a=-1，
得f（x）=-x²+2x+3
（2）由（1）知，y=f（x）的對(duì)稱軸為x₀=1，
若t≥1，則y=f（x）在[t，t+2]上是減函數(shù)，${y_{max}}=f（t）=-{t^2}+2t+3$，
若t+2≤1，即t≤-1，則y=f（x）在[t，t+2]上是增函數(shù)，${y_{max}}=f（t+2）=-{t^2}-2t+3$，
若t＜1＜t+2，即-1≤t≤1，則y_max=f（1）=4，
故$g（t）=\left\{\begin{array}{l}-{t^2}-2t+3（t≤-1）\\ 4，（-1＜t＜1）\\-{t^2}+2t+3（t≥1）\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法，考查函數(shù)的最大值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．