Question

17．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ax²-2ax+2lnx，g（x）=f（x）-2x．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)a=1，化簡(jiǎn)f（x），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，得到切線方程．
（2）q求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，②當(dāng)a＞1時(shí)，③當(dāng)a=1時(shí)，通過(guò)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x²-2x+2lnx，$f'（x）=2x-2+\frac{2}{x}=\frac{{2（{x^2}-x+1）}}{x}$
設(shè)切線方程為y-f（1）=k（x-1），
∵k=f'（1）=2，f（1）=-1，
代入切線方程，化簡(jiǎn)得：y=2x-3…（5分）
（2）g（x）=f（x）-2x=ax²-2（a+1）x+2lnx$g'（x）=2ax-2（a+1）+\frac{2}{x}=\frac{{2a{x^2}-2（a+1）x+2}}{x}=\frac{{2a（x-1）（x-\frac{1}{a}）}}{x}$，（x＞0）
∵x＞0，a＞0，由$（x-1）（x-\frac{1}{a}）=0$$⇒{x_1}=\frac{1}{a}，{x_2}=1$，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\frac{1}{a}＞1$
在區(qū)間$（0，1），（\frac{1}{a}，+∞）$上g'（x）＞0，在區(qū)間$（1，\frac{1}{a}）$上g'（x）＜0
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（0，1），（\frac{1}{a}，+∞）$，
單調(diào)遞減區(qū)間是$（1，\frac{1}{a}）$
②當(dāng)a＞1時(shí)，$0＜\frac{1}{a}＜1$，在區(qū)間$（0，\frac{1}{a}），（1，+∞）$上g'（x）＞0，在區(qū)間$（\frac{1}{a}，1）$上g'（x）＜0
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（0，\frac{1}{a}），（1，+∞）$，
單調(diào)遞減區(qū)間是$（\frac{1}{a}，1）$
③當(dāng)a=1時(shí)，g'（x）≥0恒成立，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度比較大．