Question

已知函數(shù)f（x）=-sin²x+sinx+a，若1≤f（x）≤4對(duì)一切x∈R恒成立．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：令t=sinx，則y=-t²+t+a（-1≤t≤1），根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，，確定y的最大最小值，若1≤f（x）≤4對(duì)一切x∈R恒成立，只需

ymax≤4 ymin≥1

即可，從而確定a的取值范圍．

解答：解：∵y=f（x）=-sin²x+sinx+a，
令t=sinx，則y=-t²+t+a（-1≤t≤1），
由于y=-t²+t+a的對(duì)稱軸是t=

1

2

，
∴在-1≤t≤1上，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，有：
當(dāng)t=

1

2

時(shí)，y取得最大值，ymax=-(

1

2

)2+

1

2

+a=

1

4

+a，
當(dāng)t=-1時(shí)，y取得最小值，y_min=-（-1）²+（-1）+a=a-2，
又∵1≤f（x）≤4對(duì)一切x∈R恒成立，
即：1≤y=-t²+t+a≤4對(duì)一切t∈[-1，1]恒成立，
所以有：

ymax≤4 ymin≥1

，即

1 4 +a≤4 a-2≥1

?3≤a≤

15

4

，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3，

15

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最大最小值，屬于基礎(chǔ)題型．