Question

已知向量

a

=(sin

x

2

，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

x

2

)，x∈R，f(x)=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及最小值；
（2）當x∈[0，2π]時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積的運算求出函數(shù)f（x）的解析式，再化簡為y=Acos（wx+ρ）的形式，根據(jù)T=

2π

w

可求最小正周期．
（2）將

x

2

+

π

6

看做一個整體，再由2kπ≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈z)可求出x的范圍．

解答：解：（1）∵

a

=(sin

x

2

，

1

2

)，

b

=(

3

2

，cos

x

2

)
∴f(x)=

a

•

b

=(sin

x

2

，

1

2

)•(

3

2

，cos

x

2

)=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

=cos(

x

2

+

π

6

)
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=

2π

1 2

=4π，最小值為-1
（2）由（1）知f(x)=sin(

x

2

+

π

6

)
令2kπ≤

x

2

+

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈z)
得4kπ-

4π

3

≤x≤4kπ+

2π

3

(k∈z)
即函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

](k∈z)
∴當x∈[0，2π]時，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為[0，

2π

3

]

點評：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和單調區(qū)間的求法．一般都是把函數(shù)先化簡為y=Asin（wx+ρ）或y=Acos（wx+ρ）的形式再由三角函數(shù)的圖象和性質可解題．