Question

請您設(shè)計一個帳篷.它下部的形狀是高為1 m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3 m的正六棱錐（如下圖所示）.試問當帳篷的頂點O到底面中心O₁的距離為多少時，帳篷的體積最大？

Answer 1

思路分析：本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學知識解決實際問題的能力.求函數(shù)最值的基本方法,如：二次函數(shù)法、均值不等式法、求導法等，是近年高考的熱點.

解：設(shè)OO₁為x m,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為

( 單位：m),

于是底面正六邊形的面積為（單位：m²）:

S=6××()²·sin60°=6××（）²=(8+2x-x²).

帳篷的體積為（單位：m³）:V(x)=(8+2x-x²)［(x-1)+1］=(16+12x-x³).

求導數(shù)，得V′(x)=(12-3x²).

令V′(x)=0,解得x=-2(不合題意，舍去),或x=2.

當1＜x＜2時，V′(x)＞0,V(x))為增函數(shù)；當2＜x＜4時，V′(x)＜0,V(x)為減函數(shù).

所以當x=2時,V(x)最大.

答:當OO₁為2 m時，帳篷的體積最大.