Question

若實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件

y≤1 x+y≥0 x-y-2≤0

，
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=x-2y的最大值；
（2）求目標(biāo)函數(shù)z=

y+2

x+2

的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)z=x-2y中，z的幾何意義，通過(guò)直線平移即可得到z的最大值；
（2）目標(biāo)函數(shù)z=

y+2

x+2

的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)P（-2，-2）的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到z的最大值和最小值．

解答： 解：（1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=x-2y，得y=

1

2

x-

z

2

，
平移直線y=

1

2

x-

z

2

，當(dāng)直線y=

1

2

x-

z

2

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大，
由

x+y=0 x-y-2=0

，解得

x=1 y=-1

，即A（1，-1），
此時(shí)z的最大值為z=1-2×（-1）=1+2=3．
（2）目標(biāo)函數(shù)z=

y+2

x+2

的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)B（-2，-2）的斜率，
當(dāng)M位于A（1，-1）時(shí)，此時(shí)PA的斜率最小，此時(shí)z_min=

-1+2

1+2

=

1

3

，
當(dāng)M位于C時(shí)，此時(shí)PC的斜率最大，
由

y=1 x+y=0

，解得

x=-1 y=1

，即C（-1，1），此時(shí)z_max=

1+2

-1+2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及兩點(diǎn)之間的斜率公式的計(jì)算，利用z的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．