Question

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交于兩點，點的坐標是．
（I）證明，為常數(shù)；
（II）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程．

Answer 1

（I）為常數(shù)
（II）點的軌跡方程是

解：由條件知，設(shè)，．
（I）當與軸垂直時，可設(shè)點的坐標分別為，，
此時．
當不與軸垂直時，設(shè)直線的方程是．
代入，有．
則是上述方程的兩個實根，所以，，
于是


．
綜上所述，為常數(shù)．
（II）解法一：設(shè)，則，，
，，由得：
即
于是的中點坐標為．
當不與軸垂直時，，即．
又因為兩點在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡得．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
所以點的軌跡方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
當不與軸垂直時，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
當時，，由④⑤得，，將其代入⑤有
．整理得．
當時，點的坐標為，滿足上述方程．
當與軸垂直時，，求得，也滿足上述方程．
故點的軌跡方程是．