Question

【題目】仙游某家具城生產某種家具每件成本為3萬元，每件售價為x萬元（x＞3），月銷量為t件，經驗表明，t= +10（x﹣6）2 ， 其中3＜x＜6，a為常數．已知銷售價格為5萬元時，月銷量為11件．
（1）求a的值；
（2）求售價定為多少時，該家具的月利潤最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）解：因為x=5時，y=11，所以 +10=11，a=2．
（2）解：由（1）可知，該商品每日的銷售量y= +10（x﹣6）2．

所以該家具的月利潤為：

f（x）=（x﹣3）[ +10（x﹣6）2]=2+10（x﹣3）（x﹣6）2，3＜x＜6．

從而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣4）（x﹣6）．

于是，當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（3，4）	4	（4，6）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	單調遞增	極大值42	單調遞減

由上表可得，x=4是函數f（x）在區(qū)間（3，6）內的極大值點，也是最大值點．

所以，當x=4時，函數f（x）取得最大值，且最大值等于42．

答：當銷售價格為4萬元時，該家具的月利潤最大，最大值等于42萬元

【解析】（1）將x，y的值代入方程，求出a的值即可；（2）求出函數表達式，根據函數的單調性，求出函數的極大值和極小值，從而求出函數的最大值，得到答案即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．