Question

【題目】如圖，在△ABC中，已知∠ABC=45°，O在AB上，且OB=OC= AB，又PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA=AO= PO．
（Ⅰ）求證：PD⊥平面COD；
（Ⅱ）求二面角B﹣DC﹣O的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1， 由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，
∴DA⊥AO．從而 ，
在△PDO中，∵PO=2，
∴△PDO為直角三角形，故PD⊥DO．
又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，
∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，
∴PO⊥OC，
又PO，AB平面PAB，PO∩AB=O，
∴CO⊥平面PAB．
故CO⊥PD．
∵CO∩DO=O，
∴PD⊥平面COD．
（Ⅱ）解：以O(shè)C，OB，OP所在射線分別為x，y，z軸，建立直角坐標(biāo)系如圖．

則由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），
∴ ，
由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴ 是平面DCO的一個法向量，
設(shè)平面BDC的法向量為 ，∴ ，∴ ，
令y=1，則x=1，z=3，∴ ，
∴ ，
由圖可知：二面角B﹣DC﹣O為銳角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值為 ．
【解析】（Ⅰ）設(shè)OA=1，則PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可證明．（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點A為坐標(biāo)原點，設(shè)AB=1，利用線面垂直的性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系得出兩個平面的法向量，求出其夾角即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．