Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知（a₂-1）³+2011（a₂-1）=sin

2011π

3

，（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=cos

2011π

6

，則S₂₀₁₁等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：將兩個(gè)等式相加，利用立方和公式將得到的等式因式分解，提取公因式得到a₂+a₂₀₁₀的值，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出n項(xiàng)和．

解答： 解：（a₂-1）³+2011（a₂-1）=sin

2011π

3

=

3

2

，①
（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=cos

2011π

6

=-

3

2

，②
①+②得，
（a₂-1）³+2011（a₂-1）+（a₂₀₁₀-1）³+2011（a₂₀₁₀-1）=0，
即（a₂-1+a₂₀₁₀-1）[（a₂-1）²-（a₂-1）（（a₂₀₁₀-1）+（a₂₀₁₀-1）²]+2011（a₂-1+a₂₀₁₀-1）=0，
∴a₂-1+a₂₀₁₀-1=0，
即a₂+a₂₀₁₀=2，{a_n}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，
∴S₂₀₁₁=

a1+a2011

2

×2011=

a2+a2010

2

×2011=2011，
故答案為：2011．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)條件求出a₂+a₂₀₁₀=2是解決本題的關(guān)鍵．