Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，A是橢圓上的一點(diǎn)，AF₂⊥F₁F₂，原點(diǎn)O到直線AF₁的距離為|OF₁|，
（Ⅰ）證明a=b；
（Ⅱ）求t∈（0，b）使得下述命題成立：設(shè)圓x²+y²=t²上任意點(diǎn)M（x₀，y₀）處的切線交橢圓于Q₁，Q₂兩點(diǎn)，則OQ₁⊥OQ₂。

Answer 1

解：（Ⅰ）由題設(shè)及，
不妨設(shè)點(diǎn)A（c，y），其中y＞0，
由于點(diǎn)A在橢圓上，有，，
解得，從而得到，
直線的方程為，整理得，
由題設(shè)，原點(diǎn)O到直線的距離為，
即，
將代入原式并化簡得，即。
 （Ⅱ）圓上的任意點(diǎn)處的切線方程為，
當(dāng)t∈（0，b）時，圓上的任意點(diǎn)都在橢圓內(nèi)，
故此圓在點(diǎn)A處的切線必交橢圓于兩個不同的點(diǎn)，
因此點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，
當(dāng)時，由①式得，
代入②式，得，
即，
于是，

，
若，則
，
所以，，
由，得，
在區(qū)間（0，b）內(nèi)此方程的解為，
 當(dāng)時，必有，同理求得在區(qū)間（0，b）內(nèi)的解為，
另一方面，當(dāng)時，可推出，從而；
綜上所述，使得所述命題成立．