Question

梯形ABCD中，AD∥CP，PD⊥AD，CB⊥AD，∠DAC=

π

4

，PC=AC=2，如圖①；現(xiàn)將其沿BC折成如圖②的幾何體，使得AD=

6

（Ⅰ）求直線BP與平面PAC所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由題意分別以BC、BA、BD所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系B-xyz，利用向量法能求出直線BP與平面PAC成的角．
（Ⅱ）求出平面PAB的法向量和平面PAC的法向量，利用向量法能求出二面角C-PA-B大小的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，∵PC=AC=2，
∴AB=BC=

2

，BD=2，AD=

6

．
在△ABD中，∵AB²+DB²=AD²，∴BD⊥BA，
∴BD、BA、BC兩兩垂直，
分別以BC、BA、BD所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立空間直角坐標系B-xyz（如圖）．
A(0，

2

，0)，B(0，0，0)，C(

2

，0，0)，P(

2

，0，2)．
設(shè)平面PAC的法向量為

n

=（x，y，z），

CA

=(-

2

，

2

，0)，

CP

=(0，0，2)，
則

n • CA =x-y=0 n • CP =z=0

，取

n

=（1，1，0）
設(shè)直線BP與平面PAC成的角為θ，
則sinθ=|cps＜

BP

，

n

＞|=

2

2 × 6

=

6

6

．
直線BP與平面PAC成的角為arcsin

6

6

．
（Ⅱ）設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（a，b，c），

AP

=(

2

，-

2

，2)，

BC

=(

2

，0，0)．

AB

=(0，-

2

，0)，

AP

=(

2

，-

2

，2)．
由

AB • m =- 2 b=0 AP • m = 2 a- 2 b+2c=0

，
令c=-1，∴

m

=（

2

，0，-1）．
由（Ⅰ）知平面PAC的法向量為

n

=（1，1，0）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

2

3 × 2

=

3

3

，
由圖知二面角C-PA-B為銳角，
∴二面角C-PA-B大小的余弦值為

3

3

．

點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．