Question

已知兩點A（-2，0），B（2，0），動點P在y軸上的射影是H，且

PA

•

PB

=2

PH2

．
（1）求動點P的軌跡C的方程（6分）
（2）已知過點B的直線l交曲線C于x軸下方不同的兩點M，N，求直線l的斜率的取值范圍（6分）

Answer 1

分析：（1）設(shè)出點P的坐標(biāo)（x，y），求出題中所需要的向量代入

PA

•

PB

=2

PH2

，即可得到x，y的關(guān)系式，即得到動點P的軌跡C的方程．
（2）分情況討論斜率不存在、斜率為0與斜率存在但是不為0的三種情況，當(dāng)斜率存在且不為0時，聯(lián)立直線與雙曲線的方程得到一元二次方程，再結(jié)合實根分別可得關(guān)于k的不等式組，進而求出k的取值范圍即可．

解答：解（1）設(shè)P(x，y)，則

PA

=(-2-x，-y)，

PB

=(2-x，-y)，

PH

=（-x，0），
因為

PA

•

PB

=2

PH2

所以得y²-x²=4
（2）①若直線l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，它與曲線C在x軸下方的部分只有一個交點(2，-2

2

)
②若直線l的斜率為0，則直線l是x軸，它與曲線C無交點，所以，以上兩種情形與題設(shè)不符．
③設(shè)直線l之方程為y=k （x-2）（k≠0）
聯(lián)立

y=k(x-2) y2-x2=4

消去x得（k²-1）y²-4ky=8k²=0
設(shè)M （x₁，y₁），N （x₂，y₂）
則M，N在x軸下方?

k2-1≠0 16k2-4(k2-1)(-8k2)＞0 4k k2-1 ＜0 -8k2 k2-1 ＞0

解出

2

2

＜k＜1，
∴k∈(

2

2

，1)

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是對直線的斜率進行討論，當(dāng)斜率存在時正確分析題意再聯(lián)立方程進而進行準(zhǔn)確的運算，討論圓錐曲線與直線的交點問題是這部分的一個重點內(nèi)容．