Question

若tanα+tanβ+tanγ=

17

6

，cotα+cotβ+cotγ=-

4

5

，cotαcotβ+cotβcotγ+cotγcota=-

17

5

，則tan（α+β+γ）=

 

．

Answer 1

考點：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：先由第三個等式去分母得：tanα+tanβ+tanγ=-

17

5

tanαtanγtanβ；結(jié)合條件tanα+tanβ+tanγ=

17

6

，知tanαtanγtanβ=-

5

6

；②再由cotα+cotβ+cotγ=

1

tanα

+

1

tanβ

+

1

tanγ

=-

4

5

，得tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=

2

3

③，根據(jù)兩角和的正切公式，得到tan（α+β）與tanγ的關(guān)系式，與條件1再結(jié)合，能得到一個只有變量tanγ的等式，化簡通過整理可得答案．

解答： 解：∵cotαcotβ+cotαcotγ+cotβcotγ=-

17

5

，
∴

1

tanαtanβ

+

1

tanαtanγ

+

1

tanγtanβ

=-

17

5

，
去分母：tanα+tanβ+tanγ=-

17

5

tanαtanγtanβ；
∵tanα+tanβ+tanγ=

17

6

，①
∴tanαtanγtanβ=-

5

6

；②
∵cotα+cotβ+cotγ=

1

tanα

+

1

tanβ

+

1

tanγ

=-

4

5

，
去分母：-

4

5

tanαtanγtanβ=tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ，
∴tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=-

4

5

×（-

5

6

）=

2

3

；③
 令tanα+tanβ+tanγ=

17

6

=A，tanαtanβ+tanαtanγ+tanγtanβ=

2

3

=B，tanαtanγtanβ=-

5

6

=C，
 則tan（α+β+γ）=tan[（α+β）+γ]
=

tan(α+β)+tanγ

1-tan(α+β)tanγ

=

tanα+tanβ 1-tanαtanβ +tanγ

1- tanα+tanβ 1-tanαtanβ •tanγ

 
=

A-C

1-B

=

17 6 -( 5 6 )

1- 2 3

=

11

3

×3=11．
故答案為：11．

點評：本題考查兩角和的正切公式，著重考查化歸思想與整體代入思想，考查綜合分析與運(yùn)算求解能力，屬于難題．