Question

19．已知函數(shù)$f（x）=sinx-\frac{1}{2}x$，x∈[0，π]．那么下列命題中所有真命題的序號是①④．
①f（x）的最大值是$f（\frac{π}{3}）$
②f（x）的最小值是$f（\frac{π}{3}）$
③f（x）在$[0，\frac{π}{3}]$上是減函數(shù)        
④f（x）在$[\frac{π}{3}，π]$上是減函數(shù)．

Answer 1

分析 先求導，再研究出它的單調(diào)性確定出最值，再由這些性質(zhì)對四個命題進行比較驗證，選出正確命題

解答 解：∵f（x）=sinx-$\frac{1}{2}$x，x∈[0，π]，
∴f′（x）=cosx-$\frac{1}{2}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{π}{3}$，
當f′（x）＞0時，解得0≤x≤$\frac{π}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當f′（x）＜0時，解得$\frac{π}{3}$≤x≤π，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當x=$\frac{π}{3}$時，函數(shù)取的最大值，即f（x）的最大值是$f（\frac{π}{3}）$
∵f（0）=sin0-0=0，f（π）=sinπ-$\frac{1}{2}$π=-$\frac{1}{2}$π，
∴函數(shù)的最小值為f（π）=-$\frac{1}{2}$π，
故所有真命題的序號是①④，
故答案為；①④．

點評 本題考查命題的真假的判斷與應用，解題的關鍵是掌握住用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及求最值，由這些結(jié)論對四個命題的正確性進行驗證得出正確選項．