Question

有人預(yù)測(cè)：在2010年的廣州亞運(yùn)會(huì)上，排球比賽的決賽將在中國(guó)隊(duì)與日本隊(duì)之間展開(kāi)，據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，中國(guó)隊(duì)在每局比賽中勝日本隊(duì)的概率為

2

3

，比賽采取五局三勝制，即誰(shuí)先勝三局誰(shuí)就獲勝，并停止比賽．
（1）求中國(guó)隊(duì)以3：1獲勝的概率．
（2）設(shè)ξ表示比賽的局?jǐn)?shù)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題的比賽，每一局之間都是不影響的，且中國(guó)隊(duì)獲勝的概率都相同，符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式寫(xiě)出中國(guó)隊(duì)乙三比一獲勝的概率．即前三場(chǎng)中國(guó)隊(duì)勝兩場(chǎng)，且第四場(chǎng)一定勝．
（2）ξ表示比賽的局?jǐn)?shù)，則ξ的所有可能取值為3，4，5．結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和第一問(wèn)的分析寫(xiě)出變量的概率，當(dāng)變量等于5時(shí)，可以用1減去前兩個(gè)變量的概率得到結(jié)果，寫(xiě)出分布列，做出數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）由題意知本題的比賽，每一局之間都是不影響的，
且中國(guó)隊(duì)獲勝的概率都相同，符合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
設(shè)“中國(guó)隊(duì)以3：1獲勝”為事件A，
則事件A表示“前3局中國(guó)隊(duì)恰好勝2局，然后第4局勝”，
∴P(A)=

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

．
（2）ξ的所有可能取值為3，4，5．
P(ξ=3)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

；
P(ξ=4)=P(A)+

C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

×

1

3

=

10

27

；
P（ξ=5）=1-P（ξ=3）-P（ξ=4）=

8

27

．
∴ξ的分布列為：

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為理科的一道解答題目出現(xiàn)．