Question

11．已知冪函數(shù)$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$（m∈Z）為偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在區(qū)間（2，3）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-2m²+m+3＞0，且-2m²+m+3＞0為正偶數(shù)，由此求得m的值，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）由條件利用對數(shù)函數(shù)的定義域和單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，從而求得a的范圍．

解答 解：（1）∵$f（x）={x^{-2{m^2}+m+3}}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴-2m²+m+3＞0，∴$-1＜m＜\frac{3}{2}$．
又m∈Z，m=0或m=1．
再根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，可得-2m²+m+3為正偶數(shù)，故m=1，f（x）=x² ．
（2）g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0，a≠1）在（2，3）上為增函數(shù)，
而$g（x）={log_a}（{x^2}-ax）$由y=log_au和$u={x^{_2}}-ax$復(fù)合而成，
當(dāng)0＜a＜1時，y=log_au減函數(shù)，故u=x²-ax 在（2，3）為增函數(shù)，故不滿足條件．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{a＞1}\\{\frac{a}{2}≤2}\\{4-2a≥0}\end{array}}\right.$，求得1＜a≤2．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，復(fù)函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．