Question

已知橢圓D：

x2

4

+y²=1與圓M：x²+（y-m）²=9 （m∈R），雙曲線G與橢圓D有相同的焦點，它的兩條漸近線恰好與圓M相切．
（1）當m=6時，求雙曲線G的方程；
（2）若雙曲線的兩條準線間的距離范圍是[1，

3

]，求m的取值范圍．

Answer 1

由題意橢圓D：

x2

4

+y²=1知其焦點在X軸上，且焦點坐標是（-

3

，1）與（

3

，1）
又雙曲線G與橢圓D有相同的焦點，可設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，故有a²+b²=3  ①
漸近線方程為y=±

b

a

x，即ay±bx=0
（1）當m=6時，圓心坐標為（0，6），半徑為3
由于雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切，故有圓心（0，6）到雙曲線漸近線的距離是3，
∴3=

|6a|

a2+b2

，由③得a²+b²=3，故有a=

3

2

，b=

3

2

∴雙曲線G的方程為

x2

3 4

-

y2

9 4

=1
答：當m=6時，雙曲線G的方程是

x2

3 4

-

y2

9 4

=1
（2）由題意雙曲線的兩條準線間的距離范圍是[1，

3

]，得

2a2

3

∈[1，

3

]，解得a²∈[

3

2

，

3

2

]②
又圓心坐標為（0，m），半徑為3
由于雙曲線的兩條漸近線恰好與圓M相切，故有圓心（0，m）到雙曲線漸近線的距離是3，
∴有點到直線的距離公式得到3=

|ma|

a2+b2

，由③得a²+b²=3，得|m|=

3 3

a

，即m²=

27

a2

，
由②得m²∈[18，18

3

]
又m∈R，可得m∈[3

2

，3

4	12

]∪[-3

4	12

，-3

2

]
答：m的取值范圍是[3

2

，3

4	12

]∪[-3

4	12

，-3

2

]