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【題目】已知點的兩頂點,且點滿足

(1)求動點的軌跡方程;

(2)設,求動點的軌跡方程;

(3)過點的動直線與曲線交于不同兩點,過點軸垂線,試判斷直線與直線的交點是否恒在一條定直線上?若是,求該定直線的方程,否則,說明理由.

【答案】(1);(2);(3)兩直線的交點恒落在直線上。

【解析】

(1)設出點的坐標,代入,化簡后求得動點的軌跡方程.(2)設出點的坐標,利用向量相等列方程,轉化為的坐標,代入(1)中的方程可求得的方程.(3)設出直線的方程,代入的方程,化簡后寫出韋達定理,寫出直線和直線的方程并求出它們的交點坐標,化簡后可知兩直線,的交點恒落在直線上.

(1)設動點,其中.由得:

(2)設點,由代入(1)中的方程得:

即曲線的軌跡方程為.

(3)顯然過點的直線不垂直軸,設,同時設,.

整理得:.

由韋達定理得:,.

直線.

直線.

聯立①②求解交點,消得:.

.

把韋達定理中的及變形式代入上式得:

(與無關).

故兩直線,的交點恒落在直線上.

練習冊系列答案
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