Question

（2011•遂寧二模）設函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在非零實數(shù)，使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為M上的l高調(diào)函數(shù)，現(xiàn)給出下列命題：
①函數(shù)f(x)=(

1

2

)x為R上的1高調(diào)函數(shù)；
②函數(shù)f （x）=sin 2x為R上的高調(diào)函數(shù)；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上的m高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是[2，+∞）；
④如果定義域為R的函教f （x）是奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且f（x）為R上的4高調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是[一1，1]．
其中正確的命題是

②③④

 （寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①函數(shù)f(x)=(

1

2

)x為R上的遞減函數(shù)；
②由正弦函數(shù)知函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)；
③易知f（-1）=f（1），故得m≥1-（-1），即m≥2；
④定義域為R的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，畫出函數(shù)圖象，可得4≥3a²-（-a²），
從而可得結(jié)論

解答：解：對于①，∵函數(shù)f(x)=(

1

2

)x為R上的遞減函數(shù)，故①不正確，
②∵sin2（x+π）≥sin2x，∴函數(shù)f（x）=sin2x為R上的π高調(diào)函數(shù)，故②正確，
③如果定義域為[1，+∞）的函數(shù)f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調(diào)函數(shù)，∵f（-1）=f（1），∴m≥1-（-1），∴m≥2，故③正確，
④f（x）=|x-a²|-a²的圖象如圖，∴4≥3a²-（-a²），∴-1≤a≤1，故④正確．
故答案為：②③④

點評：本題考查基本初等函數(shù)的性質(zhì)，考查學生的閱讀能力，應用知識分析解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合的能力，是一個新定義問題，注意對于條件中所給的一個新的概念，要注意理解．