Question

設函數(shù)
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=3處取得極小值是，求a、b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）在（-1，1）上有且只有一個極值點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=3處取得極小值是，可得f′（3）=0，，從而可求a、b的值；
（II）先求導函數(shù)，f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2），比較2a與2的大小，從而進行分類討論，進而可確定函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在（-1，1）上有且只有一個極值點，等價于f′（x）在（-1，1）上有且只有一個解；由（II）及零點存在定理可得，從而可確定a的取值范圍．
解答：解：（I）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a（3分）
∴f′（3）=9-6（a+1）+4a=0得 （4分）
∵解得：b=-4（5分）
（II）∵f′（x）=x²-2（a+1）x+4a=（x-2a）（x-2）
令f′（x）=0，即x=2a或x=2．（7分）
當a＞1時，2a＞2，∴f′（x）＞0時，x＞2a或x＜2，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2）和（2a，+∞）．（8分）
當a=1時，f′（x）=（x-2）²≥0，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．（9分）
當a＜1時，2a＜2，∴f′（x）＞0時，x＜2a或x＞2，即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2a）和（2，+∞）．（10分）
（Ⅲ）由題意可得：（12分）
∴（2a-1）（2a+1）＜0
∴
∴a的取值范圍（14分）
點評：本題以函數(shù)為載體，考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值，考查利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，理解函數(shù)極值的定義是解題的關(guān)鍵