Question

已知各項為正的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意正整數(shù)n，有a₂a_n=S₂+S_n
（1）求a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）若數(shù)列的前n項和為T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，利用條件，可得，a₂（a₂-a₁）=a₂，根據(jù)數(shù)列{a_n}各項為正，可求a₁；
（2）利用條件再寫一式，兩式相減，利用等比數(shù)列的通項公式，即可得到結(jié)論；
（3）確定數(shù)列的通項，得出正數(shù)項與負(fù)數(shù)項，即可求最值．
解答：解：（1）當(dāng)n=1時，a₂a₁=S₂+S₁=2a₁+a₂①
當(dāng)n=2時，得=2a₁+2a₂②
②-①得，a₂（a₂-a₁）=a₂③
∵數(shù)列{a_n}各項為正，∴a₂≠0，∴a₂-a₁=1④
①④聯(lián)立可得a₁=+1，a₂=+2，（負(fù)值舍去）
綜上可得，a₁=+1；
（2）當(dāng)n≥2時，（2+）a_n=S₂+S_n，（2+）a_n-1=S₂+S_n-1，
兩式相減可得（1+）a_n=（2+）a_n-1，
∴a_n=a_n-1，
∴a_n=（1+）•；
（3）令，則b_n=lg2
令b_n＞0，則n＜5，令b_n＜0，則n＞5
∴數(shù)列的前4項為正，第5項為0，從第6項開始為負(fù)
∴數(shù)列的前4項或前5項的和取得最大值，最大值為=5lg2．
點評：本題考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的和的最大值，考查學(xué)生的學(xué)生能力，屬于中檔題．