Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₄|

1

an

|，求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，可求得a₁=-

1

4

，由a_n=5S_n+1，可得a_n+1=5S_n+1+1，兩式相減，整理可得

an+1

an

=-

1

4

，知數(shù)列{a_n}是首項為a₁=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，于是可求
數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=(-

1

4

)n；依題意可求得b_n=n，利用裂項法可得

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，從而可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=5S₁+1，∴a₁=-

1

4

，…（2分）
又a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
a_n+1-a_n=5a_n+1，
即

an+1

an

=-

1

4

，…（4分）
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，
∴a_n=(-

1

4

)n； …（6分）
（Ⅱ）b_n=log₄|

1

an

|=log₄|（-4）ⁿ|=n，…（8分）
所以

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

 …（10分）
所以T_n=[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

n

n+1

…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列的遞推關(guān)系的應(yīng)用，求得數(shù)列{a_n}的通項公式是關(guān)鍵，考查等比關(guān)系的確定與裂項法求和，屬于中檔題．