如圖所示為某風(fēng)景區(qū)設(shè)計(jì)建造的一個(gè)休閑廣場(chǎng),廣場(chǎng)的中間造型的平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成對(duì)稱的十字形區(qū)域,十字形區(qū)域面積為2000m2,計(jì)劃在正方方形MNPQ上建一座“觀景花壇”,造價(jià)為每平方4100元,在四個(gè)相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪石材地坪,價(jià)格為每平方110元,再在四個(gè)空角(如△DQH等)上鋪草坪,價(jià)格為每平方80元.設(shè)AD長(zhǎng)為xm,DQ長(zhǎng)為ym.
(I)試找出x與y滿足的等量關(guān)系式;
(Ⅱ)若該廣場(chǎng)的占地面積不超過(guò)2800m2,求x的取值范圍;
(Ⅲ)求該廣場(chǎng)的總造價(jià)的最小值及此時(shí)AD的長(zhǎng).

解:(Ⅰ)由已知,十字形區(qū)域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和,
得出x與y滿足的等量關(guān)系式為:4xy+x2=2000
(Ⅱ) 由(Ⅰ)得y=,
由y>0,得0<x<20
廣場(chǎng)的占地面積S=2000+2y2≤2800
則y≤20,即y=≤20
得x≥20,
綜上20≤x<20
(Ⅲ) 設(shè)廣場(chǎng)的總造價(jià)為P
則P=4100x2+110•4xy+80•2y2
=4100x2+110•(2000-x2)+160( 2
=4000x2++180000
≥980000
取等號(hào)的條件是x=10.
分析:(Ⅰ)由已知,十字形區(qū)域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和,得出4xy+x2=2000
(Ⅱ) x的取值范圍應(yīng)有(Ⅰ)中的制約關(guān)系,和占地面積不超過(guò)2800m2共同確定
(Ⅲ) 設(shè)廣場(chǎng)的總造價(jià)為P則P=4100x2+110•4xy+80•2y2,化簡(jiǎn)整理得出4000x2++180000,再利用基本不等式 求解即可.
點(diǎn)評(píng):本題考查基本不等式的實(shí)際應(yīng)用,函數(shù)的性質(zhì).建立正確的函數(shù)關(guān)系式是前提,準(zhǔn)確應(yīng)用不等式求解是保障.在求定義域是一方面要有x>0,另一方面還要根據(jù)x與y滿足的等量關(guān)系式求解.
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(1)設(shè)∠BAC=θ(弧度),將綠化帶總長(zhǎng)度表示為θ的函數(shù)S(θ);
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