Question

已知函數f（x）=ax²+bx（a≠0）的導函數f′（x）=2x-2，數列{a_n}的前n項和為S_n，點P_n（n，S_n）均在函數y=f（x）的圖象上．若b_n=

1

2

（a_n+3）
（1）當n≥2時，試比較b_n+1與2bn的大小；
（2）記c_n=

1 bn

（n∈N^*），試證c₁+c₂+…+c₄₀₀＜39．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導函數即可得到a與b的值，然后把P_n（n，S_n）代入到f（x）中得到S_n，利用a_n=S_n-S_n-1得到通項公式，利用2ⁿ的展開式得到比較b_n+1與2bn的大小關系；
（2）先求出數列{c_n}的通項公式，代入化簡，然后利用裂項求和法求出數列{c_n}的前400項的和，從而證得不等式．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f′（x）=2x-2得：a=1，b=-2，所以f（x）=x²-2x
又因為點P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數y=f（x）的圖象上，所以有S_n=n²-2n
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-3，∴a_n=2n-3（n∈N^*）
當n=1時，a₁=S₁=-1，適合上式，因此a_n=2n-3（n∈N^*）．
從而b_n=n，b_n+1═n+1，2 bn=2ⁿ
當n≥2時，2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+…＞n+1
故b_n+1＞2 bn=2ⁿ
（2）c_n=

1 bn

=

1

n

，（n∈N^*），c₁=1
∴

1

n

=

2

n + n

＜

2

n + n-1

=2（

n

-

n-1

）（n≥2）
∴c₁+c₂+…+c₄₀₀＜1+2（

2

-1）+2（

3

-

2

）+2（

4

-

3

）+…+2（

400

-

399

）=2

400

-1＜39．

點評：本小題主要考查數列與函數的綜合、數列與不等式的綜合，以及掌握用裂項求和法的方法求數列前n項的和等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．